Định lý Pytago được biết đến như là nền tảng của môn hình học mà bất cứ học sinh, sinh viên nào cũng cần phải nắm. Pytago giúp chúng ta tính toán, giải những bài toán hình học đơn giản hơn. Cùng tìm hiểu thêm về định lý này để nắm rõ những thông tin cần biết nhé!
Định lý Pytago là gì?
Pytago là một trong những định lý nền tảng của toán học nói về sự liên hệ của các cạnh góc vuông trong tam giác. Định lý này giúp bạn có thể dễ dàng biết được mối quan hệ của các cạnh góc vuông từ đó tính được giá trị của các cạnh trong tam giác vuông.
Phát biểu định lý Pytago
Pytago chủ yếu nói đến các cạnh của tam giác vuông và những mối liên hệ của các cạnh đó. Định lý được chia làm hai loại là Pytago thuận và Pytago đảo. Cùng tìm hiểu về hai loại định lý này nhé!
Định lý Pytago thuận
Khái niệm định lý thuận Pytago: Pytago về tam giác vuông, giá trị cạnh huyền bình sẽ bằng với giá trị bình phương của hai cạnh tạo nên góc vuông của tam giác. Công thức của Pytago thuận này là: c^2=a^2+b^2. Trong đó c là cạnh huyền tức là cạnh đối diện với góc vuông, còn a và b là hai cạnh tạo nên góc vuông. Và a, b, c đều phải lớn hơn 0.
Chứng minh: Để chứng minh rằng định lý này đúng với mọi tam giác vuông, chúng ta có rất nhiều cách chứng minh. Bạn có thể chứng minh định lý bằng nhiều cách như: chứng minh theo tam giác đồng dạng, theo Euclid, chia và ghép hình, chứng minh bằng đại số, tích phân,…
Ví dụ chứng minh theo tam giác đồng dạng: Cho tam giác ABC vuông tại A, ta vẽ một đường thẳng AH vuông góc BC tại H. Từ đó ta có tam giác ABH và tam giác CBA đồng dạng với nhau. Suy ra, AB/BC=BH/AB =>AB^2=BC*BH (1). Mặt khác ta có hai tam giác là ACH và BCA đồng dạng nên AC/BC=CH/AC => AC^2=BC*CH (2). Từ (1) và (2) suy ra: AB^2+AC^2=BC*BH+BC*CH=BC*(BH+CH)=BC^2.
Định lý Pytago đảo
Khái niệm định lý đảo Pytago: Một tam giác được khẳng định là tam giác vuông khi và chỉ khi tam giác đó có bình phương của hai cạnh cộng lại bằng bình phương của cạnh còn lại. Công thức: BC^2=AB^2+AC^2 => tam giác vuông tại A.
Để chứng minh được định lý đảo Pytago là đúng, bạn có thể dễ dàng chứng minh bằng cách dùng định lý sin hoặc cos. Ngoài ra, chúng ta có thể chứng minh như sau: Cho tam giác có 3 cạnh a, b, c và có a^2+b^2=c^2. Tiến hành dựng một tam giác khác có 2 cạnh bằng với a,b đồng thời tạo một góc 90 độ. Sử dụng định lý thuận ta có thể tìm được cạnh huyền. Từ đó kết luận được tam giác vuông.
Định lý Pytago đảo có một số hệ quả mà bạn cần phải biết khi tìm hiểu về định lý này. Hệ quả này giúp chúng ta có thể chứng minh được một tam giác là tam giác vuông hay không. Ta có tam giác có ba cạnh a, b, c trong đó c là cạnh dài nhất, từ đó suy ra các hệ quả sau:
- Tam giác này thỏa mãn điều kiện tam giác vuông khi và chỉ khi a^2+b^2=c^2.
- Tam giác này sẽ là tam giác nhọn khi a^2+b^2>c^2.
- Tam giác này sẽ là tam giác tù nếu a^2+b^2<c^2.
Định lý Pytago về bộ ba số
Bộ ba số Pytago nói đến giá trị của các cạnh tam giác vuông. Chúng ta có thể coi bộ ba số Pytago là các nguyên dương m, n, p. Chúng thể hiện giá trị của các cạnh trong tam giác đó. Bộ ba số Pytago được phát hiện từ các văn tự cổ xưa bởi các nhà khảo cổ ở Châu Âu. Bạn có thể dễ dàng gặp các bộ ba Pytago ở các bài toán, ví dụ như (3,4,5), (5,12,13),….
Bộ ba Pytago nguyên thủy được biết đến là những bộ ba số Pytago có ước chung lớn nhất là 1. Các bộ ba Pytago nguyên thủy mà các bạn có thể sẽ gặp trong các bài toán là: (3,4,5); (5,12,13); (7,24,25); (8,15,17); (9,40,41); (12,35,37); (20,21,29);….
Cách bước sử dụng định lý Pytago
Như đã biết Pytago là một trong các định lý nền tảng trong hình học, vì vậy học sinh sẽ phải thường xuyên giải các bài toán cần phải sử dụng định lý này. Để giải những bài toán liên quan đến việc tính độ dài của các cạnh tam giác vuông, bạn làm theo các bước sau:
- Bước 1: Để tính được các cạnh của một tam giác vuông nào đó, chúng ta cần xác định được tam giác vuông chứa cạnh cần tính.
- Bước 2: Khi đã xác định được tam giác vuông cần tính, bạn áp dụng công thức tính toán của định lý thuận Pytago vào các thông số mà đề bài đã cho.
- Bước 3: Tính giá trị của cạnh mà đề bài yêu cầu sau đó kết luận.
Ngoài ra, chúng ta còn sẽ gặp nhiều dạng bài liên quan việc chứng minh tam giác có vuông hay không và cần phải dùng đến định lý Pytago. Để làm được bài toán này, bạn làm theo những bước dưới đây.
- Bước 1: Lựa chọn cạnh dài nhất trong ba cạnh của tam giác mà đề bài đưa ra. Sau đó tính giá trị bình phương cạnh mà các bạn vừa xác định.
- Bước 2: Sau khi đã có được giá trị bình phương của cạnh dài nhất, bạn cần tính bình phương hai cạnh còn lại rồi cộng lại với nhau.
- Bước 3: So sánh hai giá trị vừa tính theo hệ quả của định lý đảo Pytago và kết luận.
Bài toán hình học dùng định lý Pytago
Để giúp bạn đọc dễ dàng giải những bài toán liên quan đến Pytago và các bài toán về tam giác vuông. Dưới đây sẽ là một vài bài toán ví dụ giúp các bạn làm quen cũng như nắm rõ hơn về định lý này.
Ví dụ 1
Đề bài: Cho một tam giác vuông ABC, tam giác vuông tại A, có cạnh AB=5cm, AC=12cm. Tính cạnh BC của tam giác trên.
Lời giải: Sử dụng định lý Pytago vào tam giác ABC ta được công thức: BC^2= AB^2 + AC^2=5^2 + 12^2=169 => BC= 13. Hoặc nếu cảm thấy khó nhớ các bộ ba Pytago thì bạn có thể lấy ngay bộ ba (5,12,13) suy ra đáp án BC=13.
Ví dụ 2
Đề bài: ABC là một tam giác có ba cạnh AB, AC, BC dài lần lượt là 3, 4, 5 cm. Chứng minh ABC vuông và xác định góc vuông của tam giác.
Lời giải: Sử dụng định lý đảo Pytago vào tam giác ABC ta có BC^2= 25. Đồng thời AB^2+AC^2=3^2+4^2=25. So sánh hai giá trị ta thấy BC^2=AB^2+AC^2, vì vậy tam giác ABC là tam giác vuông. Mặt khác ta có thể thấy được BC là cạnh có độ dài lớn nhất trong tam giác ABC, vì vậy BC chính là cạnh huyền. Từ đó ta kết luận được tam giác ABC có góc vuông tại A.
Có thể bạn quan tâm:
- Định lý Cosin – Hàm Cosin và kiến thức cần biết
- Quy tắc nắm tay phải – Khái niệm, bài tập ứng dụng
Kết luận
Định lý Pytago được ví như cái nôi của hình học, vì vậy các bạn cần nắm rõ về định lý này. Nắm được định lý này giúp mọi người dễ dàng giải được các bài toán về hình học hoặc có thể áp dụng tính toán nhiều công việc khác trong đời sống.
Qua bài viết này, mong các bạn có thể nắm được hết các định lý của Pytago và biết cách sử dụng Pytago để giải các bài toán thực tế về hình học. Quá trình học tập bộ môn khó nhằn này sẽ thuận lợi và hiệu quả hơn rất nhiều với sự am hiểu về định lý quen thuộc Pytago.
