Định lý Cosin – Hàm Cosin và kiến thức cần biết

Định lý Cosin hay còn được gọi là định lý hàm cos trong tam giác, đây là một định lý phục vụ giải những bài toán hình học cơ bản vô cùng dễ dàng và nhanh chóng. Được coi là một kiến thức trọng tâm trong hình học giải các bài toán liên quan đến tam giác, áp dụng vào chứng minh toán Hình học THPT.

Định lý hàm Cosin trong tam giác

Trong tam giác, định lý Cosin được phát hiện và ra đời giúp các bài toán hình học trở nên dễ dàng và giải nhanh chóng hơn. Định lý hàm Cosin được vận dụng và ứng dụng cực rộng rãi trong toán học ở chương trình Toán Hình học THPT.

Sự ra đời định lý trong toán học

Định lý hàm cos được biết đến với sự ra đời đầu tiên bởi nhà toán học Al Kashi (1380-1429). Là nhà toán học cực nổi tiếng và thông minh tại Iran, ông tạo ra định lý hàm cos hay còn được gọi là Định lý Al Kashi.

Định lý Cosin trong tam giác là một khái niệm được mở rộng hơn từ định lý Pitago. Bạn có thể thấy rằng, từ công thức Pitago sẽ giúp ta xác định cạnh còn thiếu trong một tam giác vuông nhờ các cạnh còn lại, thì với công thức của hàm cos sẽ giúp chúng ta tìm ra được một góc hay cạnh của tam giác đó. Với cách làm như sau:

  • Khi biết trước hai góc và cạnh xen giữa của một tam giác thường thì cần xác định cạnh có trong tam giác đó.
  • Khi biết được cạnh của tam giác thì xác định được góc.
  • Khi biết góc đối của một trong hai cạnh đã biết trong tam giác và hai cạnh đó sẽ xác định được cạnh thứ ba trong tam giác.

Tìm hiểu kiến thức cơ bản về định lý cosin trong tam giác
Tìm hiểu kiến thức cơ bản về định lý cosin trong tam giác

Phát biểu chính xác định lý Cosin

Trong tam giác, bạn biết được những giả thiết đã cho về cạnh, góc có sẵn trong tam giác. Đồng thời đề bài nêu ra phải tìm được các góc giữa hay cạnh còn lại thì ta cần áp dụng định lý hàm cos, và  định lý Cosin được phát biểu như sau:

“Trong một tam giác, bình phương của hai cạnh bằng tổng của hai cạnh kia trừ đi hai lần tích của chúng với Cosin của góc xen giữa hai cạnh đó.”

Công thức định lý Cosin 

Khi tính toán các bài toán liên quan, có thể có những dữ kiện mà giúp giải được bằng định lý hàm cos thì ta phải áp dụng sử dụng công thức. Ta cũng có thể phát biểu định lý Cosin trong một tam giác bằng công thức định lý như sau:

Xét một tam giác ABC có các cạnh với độ dài được cho như sau: AB= c, AC= b, BC= a. Với góc tương ứng theo hình tam giác như sau anpha= góc A, beta= góc B, gamma= góc C, ta tìm theo công thức

Nhận xét: Như vậy, trong một tam giác phẳng bất kỳ nếu ta biết rõ ràng góc xen giữa hai cạnh và hai cạnh của tam giác đó. Theo đó , ta sẽ tính được độ dài của các cạnh còn lại theo định lý Cosin hoặc tính góc khi biết được 3 cạnh của tam giác đó theo công thức.

Công thức định lý Cosin trong các bài toán liên quan hình tam giác
Công thức định lý Cosin trong các bài toán liên quan hình tam giác

Chứng minh định lý trong tam giác

Khi chứng minh định lý Cosin trong tam giác, người tính toán có rất nhiều cách để lựa chọn áp dụng. Từ đó, có thể mang lại độ chính xác cao và nhanh chóng cho tiến trình thực hiện đề toán theo yêu cầu như sau:

  • Sử dụng  với công thức lượng giác học lớp 9.
  • Áp dụng công thức tính khoảng cách.
  • Vận dụng định lý Ptolemy.
  • Vận dụng định lý Pitago.

Với cách làm đơn giản và phổ biến nhất khi sử dụng để chứng minh định lý Cosin, người ta sẽ vận dụng định lý Pitago với cách làm như sau:

Cho tam giác ABC là tam giác nhọn, các cạnh tam giác BC, AC, AB có độ dài lần lượt là a,b,c. Kẻ đường AH vuông góc 90 độ với BC đặt điểm là H, cạnh AH=h và HC=d. Chứng minh sự phát biểu của hàm cos qua tam giác sau:

Giải:

Xét tam giác vuông ABH, như dữ liệu đã cho sử dụng định lý Pitago ta có:

h2=c2(a-d)2=c2a2+2ad-d2 (1)

Xét tam giác vuông ACH,  gồm những dữ liệu bài toán cho biết vận dụng định lý Pitago có:

h2=b2d2 (2)

Từ (1), (2), ta rút ra được phương trình:

c2a2+2ad-d2=b2d2 (3)

c2=a2+b2-2ad

Với d=b cosC:

c2=a2+b2-2ab. cosC

Với d=b cosC thế vào (3) ta rút ra được định lý về hàm cos, đó là điều cần chứng minh.

Với trường hợp là tam giác có góc lớn hơn 90 độ hay còn gọi là tam giác tù thì cũng chứng minh như cách trên.

Chứng minh định lý hàm Cosin bằng công thức lượng giác
Chứng minh định lý hàm Cosin bằng công thức lượng giác

Hệ quả và ứng dụng bài toán 

Từ định lý Cosin trong tam giác được nêu lên ở trên, từ những công thức đó ngược học cũng có thể suy ra được hệ quả giúp ứng dụng các bài toán một cách dễ dàng.

Hệ quả của định lý hàm Cosin

Hệ quả 1, Ta rút ra được công thức tính góc tam giác từ định lý nêu trên như sau:

cosA=b2+c2a22bc

cosB= a2+c2b22ac

cosC=a2+b2c22ba

Hệ quả 2, với ma, mb, mc lần lượt là độ dài c=trung tuyến của tam giác được kẻ từ A,B,C có công thức tính độ dài trung tuyến như sau:

ma2=b2 + c22a24

mb2=c2+a22b24

mc2=a2+b22c24

Hệ quả 3, với các đường cao kẻ từ A,B,C lần lượt là A= ha, B=  hb, C= hc, bài toán đưa ra yêu cầu tính diện tích thì ta áp dụng cách làm sau:

Hệ quả 3 rút ra từ định lý hàm cos trong tam giác
Hệ quả 3 rút ra từ định lý hàm cos trong tam giác

Ứng dụng định lý trong các bài toán tam giác

Dựa trên các công thức và phát biểu về định lý Cosin nêu trên, việc vận dụng nó vào các bài toán tam giác để tính toán chắc không còn khó khăn và mất thời gian nhiều. Sau đây là bài toán ứng dụng cho các bạn có thể tham khảo:

Cho tam giác ABC có góc A=120 độ, 2 cạnh b,c lần lượt bằng 8cm và 5cm. Tính độ dài cạnh a và góc B,C của tam giác ABC?

Hướng dẫn giải toán: 

  • Từ những dữ liệu đã có trên bài toán sta vận dụng định lý hàm cos vào bài toán như sau:

a2=b2+c2-2bc.cosA = 82+52-2.8.5.cos120

=> a 11,4km

  • Tính cosB= (c2+a2b2) / 2a.c góc B 37 độ
  • Tính góc: A +B + C = 180 độ => góc C= 180 -120 -37 = 23 độ

Ứng dụng bài toán vận dụng cho định lý hàm cos trong tam giác
Ứng dụng bài toán vận dụng cho định lý hàm cos trong tam giác

Lưu ý khi vận dụng định lý Cosin làm toán

Định lý cos quả thực hiệu quả trong việc học tập môn toán. Tuy vậy người thực hiện cũng cần chú ý khi giải đề với định lý cos phải chú ý việc thật cẩn trọng. Sau đây cùng điểm qua những điều bạn cần chú ý tới khi sử dụng để làm hình học với định lý cos thú vị này nhé.

  • Bạn phải xác định đầy đủ các góc cạnh có thể tính được hoặc từ đề ra để áp dụng chuẩn xác. 
  • Không nên tự tiện áp dụng định lý cos để thực hiện tại toàn bộ những bài hoặc những yêu cầu về môn hình học.
  • Kiểm tra nhiều lần với dữ kiện đã cho và kết quả thực hiện với hàm cos có phù hợp hay không.
  • …..

Kết luận

Định lý Cosin chắc chắn sẽ là hàm số đồng hành với các bài toán trong quá trình học tại THPT, ở những bài toán hình việc áp dụng hàm số Cosin giúp giải nhanh chóng và dễ dàng hơn. Nắm rõ những hiểu biết liên quan đến định lý cũng như hệ quả và cách ứng dụng bài toán vào thực tế để có kiến thức chuyên sâu hơn khi làm toán.

BÀI VIẾT LIÊN QUAN

Bài viết gần đây